Universidade Federal do Paraná

Dinâmica de Fluidos Computacional I

3º Trabalho Computacional

Solução Numérica do Escoamento Unidimensional: Equação de Convecção-Difusão

Aluno: Romulo de Aguiar Beninca

link do github : https://rbeninca.github.io/cfd1/

link códigos : https://github.com/rbeninca/cfd1

1. Definição do Problema e Organização

Este relatório foi elaborado em HTML, utilizando dados gerados por um código Fortran e gráficos produzidos com Gnuplot. O objetivo principal foi desenvolver um código computacional para resolver a equação de convecção-difusão linear unidimensional em regime permanente, utilizando o Método de Volumes Finitos (MVF). O problema físico consiste em um escoamento unidimensional com velocidade prescrita nos contornos. Foram realizadas poucas modificações no código original fornecido pelo professor, focando principalmente na adaptação para a geração dos dados e resultados apresentados.

O relatório apresenta a metodologia, os parâmetros de execução interativos, os resultados gráficos (convergência e perfil de velocidade), tabelas comparativas e a análise de erro.

Bibliotecas JavaScript Utilizadas:

Itens Solicitados

Item 1: Número de iterações e Gráfico de Convergência

Foram necessárias 28 iterações para convergência até a tolerância especificada. O gráfico abaixo mostra a variação do resíduo máximo em escala logarítmica ao longo das iterações.

2. Tabelas de Coeficientes e Resultados

Para a solução final, tabela contendo em cada linha: número do nó, xP, aw , aP , ae , bP , onde a P uP = aw u W + ae uE + b

Item 2: Tabela de Coeficientes Finais

Nota: Linhas em vermelho indicam volumes fictícios.

Vol (i) $a_W$ $a_E$ $a_P$ $b_P$ (Fonte)
1 0.000000 -1.000000 1.000000 0.000000E+00
2 2.000000 2.000000 3.990898 -1.408196E-04
3 1.990898 2.000000 3.982064 -3.134034E-04
4 1.982064 2.000000 3.973844 -7.412659E-04
5 1.973844 2.000000 3.966967 -1.802073E-03
6 1.966967 2.000000 3.963108 -4.427064E-03
7 1.963108 2.000000 3.966284 -1.089540E-02
8 1.966284 2.000000 3.986308 -2.667710E-02
9 1.986308 2.000000 4.047357 -6.421890E-02
10 2.047357 2.000000 4.209389 -1.475209E-01
11 2.209389 2.000000 4.623351 -2.949012E-01
12 2.623351 2.000000 5.818182 -5.132946E-01
13 -1.000000 0.000000 1.000000 2.000000E+00

Coeficientes e termos-fontes

Item 3: Tabela de Resultados (Numérico vs. Analítico)

Uma tabela contendo em cada linha (incluindo os dois dos contornos): número do volume, xP, uP analítico, uP numérico, e o erro.

Nota: Linhas em vermelho indicam volumes fictícios.

A Tabela A seguir apresenta, para cada volume de controle, incluindo os volumes fictícios de contorno, a posiçãos volumes de controles calculados pelo código fortran, são comparados com os valores analíticos obtidos a partir da solução exata da equação de Burgers.

Vol (i) Posição $x$ $u_{Analítico}$ $u_{Numérico}$ Erro Absoluto
1 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00 0.000000E+00
2 4.545455E-02 2.612690E-05 -2.523513E-03 2.549640E-03
3 1.363636E-01 1.321374E-04 -7.488645E-03 7.620782E-03
4 2.272727E-01 3.952623E-04 -1.224140E-02 1.263666E-02
5 3.181818E-01 1.048355E-03 -1.653059E-02 1.757894E-02
6 4.090909E-01 2.669375E-03 -1.980580E-02 2.247518E-02
7 5.000000E-01 6.692851E-03 -2.077518E-02 2.746803E-02
8 5.909091E-01 1.667938E-02 -1.631197E-02 3.299135E-02
9 6.818182E-01 4.146660E-02 1.251236E-03 4.021536E-02
10 7.727273E-01 1.029901E-01 5.084185E-02 5.214823E-02
11 8.636364E-01 2.556954E-01 1.794862E-01 7.620921E-02
12 9.545455E-01 6.347198E-01 5.061996E-01 1.285202E-01
13 1.000000E+00 1.000000E+00 1.000000E+00 0.000000E+00

Item 4: Gráfico de $u_P$ versus $x_P$ (Analítico × Numérico)

Inclui os dois volumes fictícios de contorno (i = 1 e i = 13).

Item 5: Velocidade média (regra do retângulo) e erro

A velocidade média no domínio é definida por: ū = (1/L) ∫₀ᴸ u(x) dx. No método numérico, a integral é aproximada pela regra do retângulo: ū_num ≈ (1/L) Σ uP(i) · Δx, com L = 1.

Grandeza Valor
Velocidade média numérica, $\\bar{u}_{num}$ (retângulo) 5.837288626E-02
Velocidade média analítica, $\\bar{u}_{ana}$ 9.995459801E-02
Erro absoluto, $|\\bar{u}_{ana} - \\bar{u}_{num}|$ 4.158171175E-02
Erro relativo, $\\dfrac{|\\bar{u}_{ana} - \\bar{u}_{num}|}{|\\bar{u}_{ana}|}$ 4.159E-01 (≈ 41.6%)

Observação: como $L=1$, a normalização por $L$ não altera o valor numérico.

Item 6: Média da norma L1 do erro de $u(x)$

Seja o erro em cada volume: e(i) = |uP_num(i) - uP_ana(i)|. A norma L1 discreta é definida por: ||e||₁ = Σ e(i). A média (norma L1 normalizada por N) é: ||e||₁ / N.

Grandeza Valor
Norma L1, $||e||_1$ 4.204136184E-01
Média da norma L1, $||e||_1 / N$ 3.821941985E-02
Número de volumes (incluindo contornos), $N$ 13

Observação: aqui foi usado N = 13 (incluindo os dois volumes fictícios), como aparece no relatório do programa. Se o seu professor exigir a média apenas nos volumes reais (N-2), é só ajustar para N=11.

Item 7: Listagem do Programa Computacional

O programa computacional utilizado neste trabalho foi fornecido pelo professor e já implementava corretamente a solução numérica da equação de Burgers unidimensional em regime permanente por meio do Método dos Volumes Finitos, as alterações foram realizadas diretamente no código fortran. São descritas a seguir as modificações efetuadas em relação ao código original.

Arquivos modificados

As alterações foram restritas aos seguintes arquivos: