CFD — Prova

Aluno: Romulo de Aguiar Beninca

Repositório

O código-fonte está disponível em: https://github.com/rbeninca/cfd1

Publicação: https://rbeninca.github.io/cfd1/prova

Resolução

Conforme estudado no Capítulo 3, em relação a um fenômeno real, os erros envolvidos em um resultado numérico podem ser classificados a partir da comparação entre o fenômeno observado, o modelo matemático adotado e a solução numérica obtida.

Erro de modelagem: Diferença entre o valor verdadeiro de uma variável de interesse e a solução analítica exata do modelo matemático adotado, tendo como causas principais as simplificações do fenômeno real e a incerteza nos dados.
Erro numérico: Diferença entre a solução analítica exata do modelo matemático e a solução numérica obtida, sendo composto por:
- Erro de discretização (ou truncamento): associado às aproximações introduzidas na transformação do modelo contínuo em um modelo discreto (malha espacial e passo de tempo).
- Erro de arredondamento: associado à precisão finita da arquitetura computacional utilizada.
- Erro de iteração: associado à interrupção do processo iterativo antes da convergência total dos sistemas algébricos.

Verificação e Validação (V&V): A quantificação do erro numérico é tratada no processo de Verificação, enquanto a avaliação do erro de modelagem é tratada no processo de Validação.

No contexto da difusão de calor transiente, as formulações explícita, implícita e totalmente implícita diferenciam-se pela forma como o termo temporal é tratado durante o processo de integração no tempo, conforme a formulação geral em função do parâmetro θ, apresentada no Capítulo 4.

Formulação explícita (θ = 0): utiliza apenas informações do instante anterior (t − Δt) para calcular a solução no instante atual. É computacionalmente simples, porém condicionalmente estável, exigindo restrições no passo de tempo para garantir a estabilidade numérica.
Formulação implícita (θ = 0,5 – Crank–Nicolson): utiliza a média entre os instantes atual e anterior no tratamento do termo temporal. Apresenta maior acurácia temporal e melhor estabilidade em relação à formulação explícita, sendo classificada como incondicionalmente estável para problemas de difusão linear.
Formulação totalmente implícita (θ = 1): utiliza exclusivamente informações do instante atual (t) na discretização temporal. É incondicionalmente estável, permitindo o uso de passos de tempo maiores, embora possa introduzir maior difusão numérica em comparação à formulação de Crank–Nicolson.

Segundo o Capítulo 4, a escolha da formulação temporal envolve um compromisso entre estabilidade, acurácia e custo computacional.

A difusão numérica e a dispersão numérica são manifestações dos erros de discretização introduzidos no processo de aproximação dos termos convectivos das equações de transporte, conforme discutido no Capítulo 6.

Difusão numérica: caracteriza-se pelo suavizamento artificial dos gradientes da variável de interesse, não associado a um mecanismo físico real. Esse efeito é típico de esquemas de baixa ordem, como o Upwind de Primeira Ordem (UDS), sendo mais pronunciado em problemas dominados por convecção.
Dispersão numérica: caracteriza-se pela presença de oscilações não físicas na solução numérica, geralmente associadas ao uso de esquemas de maior ordem em regiões com fortes gradientes ou descontinuidades, quando não há dissipação numérica suficiente.

Enquanto a difusão numérica atua como um mecanismo dissipativo artificial, a dispersão numérica introduz oscilações artificiais na solução.

No Método dos Volumes Finitos, as funções de interpolação são utilizadas para estimar os valores das variáveis nas faces dos volumes de controle a partir dos valores conhecidos nos centros, sendo essenciais para o cálculo dos fluxos convectivos.

As principais funções de interpolação discutidas no Capítulo 6 são:

CDS – Central Differencing Scheme
UDS – Upwind Differencing Scheme
Esquema Exato (Exponencial)
Esquema Híbrido
WUDS / Power-Law Scheme

A seguir, apresentam-se as definições matemáticas de duas dessas funções de interpolação.

CDS (Central Differencing Scheme): o valor da variável na face é obtido pela média aritmética entre os valores dos volumes adjacentes, sendo dado por:
θ_e = ( θ_P + θ_E ) / 2
UDS (Upwind Differencing Scheme): o valor da variável na face é aproximado pelo valor do volume a montante, de acordo com o sentido do escoamento. Para u > 0:
θ_e ≈ θ_P

A escolha da função de interpolação influencia diretamente a acurácia, a estabilidade e a presença de difusão ou dispersão numérica na solução.

Conforme discutido no Capítulo 7, a correção adiada é uma técnica utilizada no Método dos Volumes Finitos cujo objetivo é empregar um esquema de alta ordem para os termos convectivos, mantendo a estabilidade numérica de um esquema de primeira ordem.

Na prática, a correção adiada consiste em utilizar um esquema de primeira ordem, como o Upwind de Primeira Ordem (UDS), na montagem da matriz principal do sistema, enquanto a diferença entre o esquema de alta ordem (por exemplo, CDS) e o esquema de primeira ordem é incorporada apenas no termo-fonte.

Ao aplicar a correção adiada, modifica-se apenas o termo-fonte da equação discretizada, enquanto os coeficientes da matriz permanecem inalterados. Dessa forma, mesmo que o problema seja linear do ponto de vista matemático, ele torna-se numericamente não linear, sendo necessário recalcular os termos-fonte a cada iteração.

A utilidade da correção adiada está em permitir a obtenção de soluções de segunda ordem de acurácia ao empregar β = 1, mantendo a estabilidade típica de esquemas de primeira ordem e evitando as instabilidades numéricas associadas ao uso direto de esquemas de alta ordem.

Em escoamentos incompressíveis, a pressão não possui uma equação explícita de transporte. Assim, é necessário utilizar métodos de acoplamento pressão-velocidade para transformar a equação de conservação da massa em uma equação para a pressão, garantindo que o campo de velocidades satisfaça simultaneamente a equação de quantidade de movimento e a continuidade.

Para esse fim, diferentes métodos de acoplamento pressão-velocidade foram propostos na literatura, destacando-se:

SIMPLE
SIMPLER
SIMPLEC

Em métodos de acoplamento pressão-velocidade, o objetivo é obter um campo de velocidades que satisfaça simultaneamente a equação de quantidade de movimento e a equação de conservação da massa. Para isso, parte-se de um campo estimado de pressão (p*), que não satisfaz a continuidade, mas cuja solução da equação de quantidade de movimento fornece um campo estimado de velocidades (u*).

No método SIMPLEC, admite-se que as correções de velocidade nas faces sejam iguais à correção no centro do volume de controle, isto é:

u′_w = u′_e = u′_p

Essa hipótese simplifica a relação entre as correções de velocidade e a correção de pressão, permitindo obter uma expressão direta para o coeficiente diferencial associado ao volume de controle p.

A partir da equação discretizada da quantidade de movimento, o coeficiente diferencial do SIMPLEC é dado por:

d_p = A_p / ( a_p^u − a_w^u − a_e^u )

Com esse coeficiente, constrói-se a equação de correção de pressão, permitindo atualizar o campo de pressão e corrigir o campo de velocidades até que a equação da continuidade seja satisfeita em todos os volumes de controle.